Межпредметные связи в решении прикладных задач
по комбинаторике, статистике и теории вероятности

Практическое занятие
методического объединения учителей математики,
физики, информатики и ИКТ, черчения

  Цель:

1. Роль и место данных тем в школьном курсе математики и их связь с другими предметами.
2. Помощь учителям в решении задач по элементам комбинаторики, статистике и теории вероятности.
3. Вывод формул для нахождения перестановок, сочетаний, размещений.
4. Систематизация и решение задач по предложенным темам.

  Почти невозможно указать сферу жизнедеятельности человека, где бы ни использовались элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности. Неоспорима роль комбинаторики, статистики и теории вероятности в прогнозировании различных социальных и экономических событий, проявлений аномальных природных явлений. Поэтому для современного образованного человека знания по данным разделам математики в плане его общей культуры важны.

  В настоящее время заканчивается подготовка, и уже начались практические мероприятия по включению в школьный курс математики этой темы. А с 2006-2007 учебного года изучение этого материала будет обязательным.

  Ввиду того, что многие учителя испытывают значительные затруднения при решении задач по новой тематике, поэтому сегодня и проводим это занятие.

  По этой теме составлен элективный курс по информатике для профильных классов учителями Вялых Т.В. и мной, где эти задачи решаются на электронных таблицах и использованием языков программирования.

  Сейчас мы познакомимся с задачами по комбинаторике.

  Дадим определение комбинаторики:

  «Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам».

  Рассмотрим, как различные составляемые комбинации элементов в задачах одной комбинации могут отличаться друг от друга.

  I вариант: только порядком расположения выбранных элементов. Такие комбинации мы назовем перестановками из n элементов.

  II вариант: только составом входящих в комбинацию m элементов из n, без учета порядка их расположения. Такие комбинации мы назовем сочетаниями m элементов из n элементов.

  III вариант: комбинации n элементов по m, которые отличаются либо составом, либо порядком расположения m элементов из n элементов в комбинации.

  Сейчас покажем решение задачи на каждый вариант. Особая примета комбинаторных задач – вопрос: «Сколькими способами можно составить эти комбинации?»

  Решим задачу, которая относится к первому варианту составления комбинаций из n элементов.

  Вспомним еще раз. В этом варианте элементы отличаются только порядком расположения n элементов.

  Детям интересны задачи, которые взяты из литературы, жизни.

  Всем известна басня Крылова «Квартет».

  Задача № 1. 4 горе-музыканта из басни Крылова давно пересаживались с места на место. В ходе этого «творческого поиска» Осел внес предложение «Мы верно, уж поладим, коль рядом сядем». Попробовали – не помогло. Но в ряд-то сесть можно по-разному! Определить, сколькими способами, это возможно».

  Задача № 2. Проходит конкурс красоты. Осталось 5 участниц. Нужно угадать, кто займет в конкурсе I, II, III места. Сколько всего существует вариантов ответов?

  Задача № 3. На уроке физкультуры школьники могут построиться в шеренгу, бегать, прыгать, лазать по канату. Затем 12 человек перевели в другое помещение, где упражнения на брусьях могут делать только 3 детей, а на перекладине – 4 детей.

  Приложение

  ЗАДАЧИ НА КОМБИНАТОРИКУ

1. Курьер должен разнести пакеты 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
2. Cколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
3. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
4. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?
5. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек.
6. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой?
7. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
8. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
9. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
10. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Олег должен находиться в конце ряда; б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда; в) Олег и Игорь должны стоять рядом.
11. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?
12. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?
13. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных
14. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
15. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен?
16. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?
17. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Минченко Н.П.

Старый Оскол, © Школа № 28